Page 8 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

пространственной переменной x 1 называются соответственно прямым и
обратным преобразованиями Фурье.

Поскольку использование интегрального преобразования исключает
только одну независимую переменную в исходной функции, а остальные
независимые переменные не затрагиваются (например, в (1.1) переменные x 2, x 3,
t сохраняются, то есть являются аргументами трансформанты), дальнейшее
изложение (за исключением решения конкретных задач математической физики)
t
ux
будем вести для функции ( , ) одной пространственной переменной x .
Отметим, что применение аппарата интегральных преобразований не дает
особых преимуществ перед классическими методами решения задач
математической физики, например, перед методом разделения переменных
Фурье, а только упрощает вывод аналитических решений. Это справедливо,
когда основное уравнение в частных производных математической модели не
содержит смешанных производных по пространственным переменным, в ином
случае (анизотропные среды) метод разделения переменных неприменим, тогда
как использование интегральных преобразований для решения подобных задач
может быть успешным (см. §2.4).

1.1. Преобразования с бесконечными пределами


Пусть функция ( ) определена на промежутке x ( , ), удовлетворяет
f
x
условиям Дирихле (является кусочно-непрерывной и кусочно-монотонной) и
абсолютно интегрируема, то есть существует интеграл

 f ()xdx  M ,

x
где M – конечное число, то функция f ( ) представима следующим
интегралом Фурье

1  

f () x   d   ( f   )cos  x  d . (1.4)
2  
Это равенство называется интегральной формулой Фурье и имеет место в
f
точках непрерывности функции ( ) x , а в точках разрыва ( )f x интеграл Фурье
равен среднему арифметическому ее односторонних пределов в данной точке:
1   1
 ( fx 
 d  f ()cos (x    )d    0)  ( fx  0) .
2   2
Комплексная форма интеграла Фурье имеет вид:

1  

f () x   d   f ( )e ( i  )x d . (1.5)
2  
1. Косинус-преобразование Фурье.
Если ( ) x – четная функция на промежутке  (x , ) относительно
f
точки x  , то есть (f  ) x  f ( ), x ( , , то из формулы (1.4) следует

0
)
x
8