Page 12 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

1.2. Связь трансформант функций и производных

При решении начально-краевых задач с помощью интегральных
преобразований необходимо уметь выражать интегральные преобразования
производных (чаще 1-го и 2-го порядков) функций через трансформанты самих
функций. Эта связь строится на основе конкретного интегрального
преобразования, типа уравнения в частных производных и вида начально-
краевых условий.


f
Пусть (0)f  и ( ) 0 , df (0) / dx  и df (  ) / dx  0.
0
1
1. Косинус-преобразование Фурье.
Преобразование Фурье 1-й производной выражается через преобразование
функции, с использованием процедуры интегрирования по частям, следующим
образом:

2  df 2   
( )cos
 cos d   f   ( f   sin  )   d 

 d   0 
0 0
2   
       f  ()sin  d  .
  1 0 

Для 2-й производной можно записать

2
2  d f 2  df   df 

 cos d   cos    sin  d 
 d 2   d d 
0  0 0 
2 (  0 ) df  df 
      sin  d  
  d 0 d 

2   
()sin

  f  0  f ()    cos d 

 
0 
2 
()cos
 2  f  d   2 F ( )  .
 c
0
В этой выкладке дважды применено интегрирование по частям и так как
0
f (0)   const, то df (0) / d .
1
2. Синус-преобразование Фурье.
Для нечетной функции f x , x (0, , удовлетворяющей условиям
)
( )
Дирихле, синус-преобразование Фурье 1-й и 2-й производных выражается через
преобразование самой функции соответственно следующим образом:

2  df 2   
( ) cos
( )sin
 sin d   f  0   f   d 

 d   
0 0
2 
()cos
   f  d;

0
12