Page 5 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

ВВЕДЕНИЕ

Методы интегральных преобразований являются частью операционного
метода решения задач для дифференциальных или разностных уравнений
и/или их систем. Основная идея операционного метода заключается в
следующем. Вместо того чтобы решать исходную задачу напрямую, что
требует выполнения достаточно сложных операций, ее переводят в так
называемое функциональное пространство изображений, и тем самым
получают более простую вспомогательную задачу. Например, задаче для
дифференциального уравнения в частных производных (ДУЧП) математической
физики в изображениях часто соответствует краевая или начальная задача для
обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ), то есть ее решение –
изображение искомой функции, найти существенно проще. Найденное решение
затем необходимо перевести обратно в пространство оригиналов, и получить

тем самым решение исходной задачи. Простые с технической точки зрения
переходы в пространство изображений и обратно обеспечивает удобство
применения операционного метода. С этой целью для каждого вида
преобразований существуют с одной стороны правила, оформленные в виде
теорем операционного исчисления, а с другой – таблицы соответствий
оригиналов и их изображений. Таким образом, можно выделить три этапа
решения задачи операционным методом: 1) прямой переход в пространство
изображений; 2) решение задачи в изображениях; 3) обратный переход в
пространство оригиналов.
Интегральные преобразования представляют широкий класс методов
операционного исчисления и являются мощным средством решения задач
математической физики. Они получили свое название, поскольку выражаются
при помощи интегралов специального вида, как при прямом переходе – в
пространство изображений, так и при обратном – в пространство оригиналов.
При решении задач математической физики наиболее часто и эффективно
применяются интегральные преобразования: Фурье (синус, косинус,
экспоненциальное) в бесконечных, полубесконечных и ограниченных областях,
Ханкеля в областях с осевой симметрией, Лапласа в полубесконечных областях.
При использовании преобразования Фурье в ограниченных областях
необходимо решить соответствующую задачу на собственные значения и
собственные функции, и последние принять в качестве ядер в конечном
интегральном преобразовании Фурье. В бесконечных или полубесконечных

областях в качестве ядер интегрального преобразования Фурье принимаются
синусы, косинусы или экспоненты от мнимого аргумента. Преобразование
Ханкеля применяется при решении задач математической физики в
цилиндрических и круговых областях, для которых ядрами являются функции
Бесселя ортогональные на ограниченных промежутках с весом независимой
переменной в первой степени. Преобразование Лапласа применяется как при
решении задач для ОДУ, так и при решении задач для ДУЧП математической

5