Page 11 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

f
3. ( ) имеет ограниченный рост, то есть возрастает не быстрее чем
t
показательная функция: | ( ) | M exp( ) t , где постоянные M  ,  , а
0
0
f t
inf  – показатель роста ( ) t .
f
()
Тогда если трансформанта Лапласа Fp является аналитической
функцией комплексного переменного (ФКП) в области Re p   inf , то
имеет место обратное преобразование Лапласа [8, 9], определяемое формулой
Меллина

1  i
pt
f () t   F ( ) p e dp . (1.13)
2 i  i
Прямое (1.12) и обратное (1.13) преобразования обозначают часто в

L ft
Fp
операторной форме соответственно через [ ( )] и L  1 [( )]. Далее всюду
преобразование Лапласа (вернее, соответствие оригинала и его изображения)
будем обозначать символом « »: ( )f t  F ( ).
p
Преобразование Лапласа наиболее часто применяется по переменной
0
времени t , поскольку всегда t  , а при t  0 ( f t  , тогда как
0
)
пространственная переменная в задачах математической физики может
принимать отрицательные значения (это зависит от системы координат задачи),
что повлечет расходимость интеграла (1.12). Однако, например, для
полубесконечных тел преобразование Лапласа может применяться и по
пространственным переменным.
Между преобразованиями Лапласа и Фурье существует связь.
Действительно, для одностороннего экспоненциального преобразования Фурье
(п. 3), при p i ( p   ,  , s  ) преобразование Фурье    станет
0
is
F
e
( )
преобразованием Лапласа (1.12), а выражение для f x – обратным
преобразованием Лапласа ( p / i , d  dp / i ). Поскольку p i – чисто
( / )
мнимая переменная, то вместо функции Fp i можно рассматривать
/
функцию Fp (переобозначая p i на p ), получим (1.13), где  . Все
0
( )
теоремы операционного исчисления [8, 9], связанные с преобразованием
Лапласа, верны для преобразования Фурье. Однако преобразование Лапласа
имеет место при выполнении условия ограниченности роста оригинала:


t
|( )| M exp() , M  ,  , а преобразование Фурье – при выполнении
f
t
0
0

условия абсолютной интегрируемости оригинала:   f ()xdx  M , что сужает
область применимости преобразования Фурье в сравнении с преобразованием
Лапласа.
Перечисленные интегральные преобразования широко применяются для
решения задач математической физики, хотя существуют и другие
интегральные преобразования, которые используются в специальных разделах
математической физики [6, 10]. На сегодняшний день известно порядка двух
десятков разных интегральных преобразований, но практически все они имеют
много общего, например линейность и обратимость.

11