Page 7 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

Глава 1

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

T
3
Пусть в текущей точке M ( ), x  (, , ) области ( VM   функция
x
)
xx
x
2
3
1
ux t 0
(, ), t  описывается нестационарным (t – переменная времени)
уравнением в частных производных и начально-краевыми условиями. Выберем
одну из пространственных независимых переменных, например x , которая
1
изменяется в пределах в пределах a  x  , b введем интегральное
1
преобразование по этой переменной согласно формуле
b





x
U (, , , )  x xt  u ( , , , ) (, )d , (1.1)
K
xt
2 3 2 3
a
где K  – ядро интегрального преобразования по переменной x , суть
( , )
1
выбранная функция, определенная в области a   , b c   . Пределы a , b
d
могут включать всю числовую ось, соответствующую x , то есть может быть
1
a  или/и b  . В результате применения преобразования (1.1) в
исходной дифференциальной задаче, придем к задаче относительно функции

U (, , , ) с размерностью задачи меньшей на единицу. В частности, для
x
t
x
2 3
( , )
функции ux t одной пространственной переменной x применение
преобразования (1.1) сводит исходную задачу к задаче для обыкновенного
Ut
дифференциального уравнения (ОДУ) относительно функции ( ) .

t
x
Функция U (, , , ) называется интегральной трансформантой,
x
3
2
(изображением, образом) функции (, , , )ux x x t .
1 2 3
Для получения оригинала – выражения для исходной функции (, , , )ux x x t
1 2 3

x
необходимо к изображению U (, , , ) применить обратное интегральное
x
t
2 3
преобразование – формулу обращения
d



t
R
xx
t
x
u (, , , )   U ( , , , ) (, )d , (1.2)
xx
x
1
2
3
2
3
1
c
где функция (, )Rx  – ядро обратного интегрального преобразования.
1
Если для ядер прямого и обратного интегральных преобразований
справедливы равенства


R (, )   K ( , )   K ( , ) (1.3)
x
x
1
1
то есть ядра прямого и обратного преобразований симметричны, то ядро
прямого преобразования K  называется ядром преобразования Фурье по
(, )
пространственной переменной x 1, а преобразования (1.1) и (1.2) по
7