Page 22 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

2 
(, ) t 
ux  U ( , )cos x d t   .
 c
0
Заменим переменную x на , умножим уравнение (2.11) на cos,
проинтегрируем обе части полученного уравнения по переменной  в пределах
0
от  до  , получим
 u  t   2 u ( , )

t
(, )
d
d
 cos  a 2  2 cos . (2.15)
0 t  0  
Левая часть равенства (2.15) выразится через трансформанту U c  ,t 
следующим образом:
 u  t    U ( , )

t
(, )

t
 cos d   u ( , )cos d  c (2.16)
0 t  t  0 t 
Правая часть уравнения (2.15) двойным интегрированием по частям
преобразуется так:
  2 u (, ) u  (, ) 


t
t
d
a 2  2 cos  a 2 cos 
0   0
 u  t  u  t
(, )
(, )
 a 2    sin   d    a  2 ( )  t  a 2  sin  d  
0  0 
   

2


2
t
t
t
 a  ()   a u ( , )sin   u ( , ) cos d 


 0 0 


2
2
 a  () a  2 U ( , ). (2.17)
t
t
c
В этой выкладке после второго равенства использованы граничные
условия (2.13), (2.14)
u  t   ( u   ,) u  (0,) 
( ,)
t
t
2
a 2 cos  a 2  cos  cos(0)    ( ).
t
a

     
0
Подставим (2.16) и (2.17) в (2.15), получим линейное неоднородное ОДУ 1-го
порядка [9] ( – параметр) относительно трансформанты Фурье U c ( , ) t :
 U  (, )
t
c  a  2 2 U  (, )  t  a  2 ( ), (2.18)
t
t  c
общим решением которого является функция
t 22




U c (, ) C e  a  22 t  a 2   ( )e   a   t d , (2.19)
t
1
0
где C – произвольная постоянная.
1
Частное решение ОДУ (2.18) найдем, подставив t  в общее решение
0


(2.19): U (,0) C . Постоянную C определим из косинус-трансформанты
c 1 1
Фурье начального условия (2.12)





U c (,0) C  1   ( )cos  d .
0
22