Page 19 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

В отличие от (1.8), (1.9), здесь множитель 2/  учтен в обратном
преобразовании (в виде 2 / ).
Умножим уравнение (2.1) на sin( и проинтегрируем обе части
)
полученного уравнения в пределах от   до   , получим
0
   



u t  ( , )sin t  d   a 2  u  ( , )sin t  d . (2.5)
0 0
Из (2.1) получим
  U (, )

t

u t  (, )sin t  d   s (2.6)
0 t 
  2 u  t  u  t   u  t 
(, )
(, )
( , )

2
a 2  2 sin d  a  sin    cos d 


0    0 0  
 u  t   
(, )
( , )cos
2
2
 a   cos d  a   u  t   u    sin  )  d 
( ,t

0
0   0 
  
( , )sin
t 
2
2
2
( , ).
 a   u (0, )    u  t d  a  ( ) a  2 U  t (2.7)
t


s
 0 
В (2.7) дважды применено интегрирование по частям, после второго
равенства использовано второе ограничение (2.4), после четвертого равенства –
первое ограничение в (2.4), а в последнем равенстве – граничное условие (2.3).
Подставим (2.6), (2.7) в (2.5), получим следующее обыкновенное
дифференциальное уравнение (ОДУ) 1-го порядка относительно
трансформанты Фурье U s ( , ) t :
 U  (, )
t
t 
t
s  a  2 2 U  (, ) a  2  ( ).
t  s
Применим начальное условие (2.2), синус-преобразование Фурье которого
имеет вид
 




d
d
U s ( ,0)   u ( ,0)sin    ( )sin   s ( ),
0 0
придем к задаче Коши для линейного неоднородного ОДУ 1-го порядка [9]

t
относительно трансформанты Фурье U s (, ):
 U  (, )
t
t 
s  a  2 2 U  (, ) a  2  ( ), t  ;
t
0
t  s



U s (,0) Ф ( ),
s
общим решением которой является функция
t





t
U s (, ) e  22 t Ф ( ) a  2 a    ( )e  a  22 ( t  ) d  
s
 0 t (2.8)

 e  a  22 t   ()sin   d   a  2   ( )e  a  2 2 ( t  ) d  .
0 0
Обратное синус-преобразование Фурье для первого слагаемого имеет вид
19