Page 18 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

Глава 2

МОДЕЛИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

В главе рассмотрены методы применения интегральных преобразований в
начально-краевых задачах для уравнения теплопроводности в
полуограниченных и ограниченных средах [6, 12]. Рассмотрены
математические модели теплопереноса, в том числе в анизотропных пластинах
[13, 15, 16]. Основное внимание уделено математическим постановкам задач и
изложению методов и алгоритмов их решения с помощью аппарата
интегральных преобразований. Всюду в главе искомая функция u означает
величину температуры в точке в данный момент времени.

2.1. Полубесконечные стержни

В параграфе рассмотрены модели и решены соответствующие начально-
краевые задачи о нагреве полуограниченных (на полупрямой) бесконечно
тонких стержней под действием начальной температуры и распределенных по
длине стержня источников теплоты, где на конце стержня задаются граничные
условия различных родов.

2.1.1. Стержень с заданной начальной температурой
и граничным условием 1-го рода

Рассмотрим неоднородную 1-ю начально-краевую задачу на полупрямой.
ux
t
Математическая постановка задачи для функции ( , ) имеет вид:
2
0
x
u  a u , 0  , t  ; (2.1)
xx
t
)
(
x
ux , 0 )   ( x , 0  ; (2.2)
)
u ( 0 , t   ( t , t  0; (2.3)
)
0
( u , ) t  , u ( , ) t  0 , (2.4)
x
где a – коэффициент температуропроводности, []a  м 2 / с.
2
2
0
Поскольку на левой границе x  задано граничное условие 1-го рода

t
(2.3), то функцию ( ) можно продолжить на отрицательную полуось нечетным
образом, после чего применить к исходной задаче синус-преобразование Фурье
прямое и обратное соответственно




U s (, )  t  u ( , )sin  d ,
t
0
2 
(, ) t 
ux  U ( , )sin x d t   .
 c
0
18