Page 25 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

2 
(, ) t 
ux  U ( , )sin x d t   
 s
0
1    ( ) 2  ( x  x   )  2  
  () exp     2    exp     d 
2
2a 0   4 t    4at at  
1 t x  x 2 
     exp    d 
 0  2at   3/2  2  4at   

1 t  
     f  2 2 (t  )   a   ( , )exp    ) cos (x    ) d d d cos (x    .

00 0
Вычислим в этом выражении интеграл по переменной  в последнем слагаемом,
получим искомую функцию ( , ) – решение исходной задачи (2.24)–(2.27):
t
ux
1    ( ) 2  ( x  x   )  2  
(, ) 
ux t  ( )exp     2    exp     d 
2
2a 0   4 t    4at at  
1 t x  x 2 

   () exp    d  
 0  2at   3/2  2  4at   
,
1 t  f  ) (  x )  2  ( x   )    2  
(
  exp   2    exp     dd  .
2a  00 t     4(at  )   4(at  )  
2

2.1.4. Стержень с источником теплоты, заданной начальной
температурой и граничным условием 2-го рода

Рассмотрим полностью неоднородную 2-ю начально-краевую задачу на
полупрямой c распределенным источником теплоты, задаваемым функцией
f xt
(, ) . Математическая постановка задачи для функции ( , )ux t имеет вид:
u  t a u  2 xx f (, ), 0  , t  0; (2.28)
x
x
t
)
(
x
ux , 0 )   ( x , 0  ; (2.29)
)
)
u ( 0 , t   ( t , t  0; (2.30)
x
(
)
u  , t  , u ( , ) t  0 . (2.31)
0
x
Решение этой задачи идентично решению задачи (2.11)–(2.14). К решению
(2.23) необходимо добавить слагаемое, связанное с источником теплоты ( , ) .
f xt
Поскольку задано граничное условие 2-го рода (2.30), применим к исходной
задаче одностороннее косинус-преобразование Фурье прямое и обратное
соответственно




U (, )  t  u ( , )cos   d ,
t
c
0
2 
(, ) t 
ux  U ( , )cos x d t   .
 c
0
Для источникового слагаемого f xt
( , ) в (2.28) одностороннее синус-
преобразование Фурье имеет вид
25