Page 26 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»





t
F (, )  t  f ( , )cos   d ,
c
0
а для начального условия (2.29) –вид

() 

   ( )cos d.
c
0
Применим эти преобразования подобно тому, как это сделано в р. 2.1.1,
придем к задаче Коши для линейного неоднородного ОДУ 1-го порядка [9]

t
относительно трансформанты Фурье U (, ):
с
 U  ,t 
 ,t 
c  a  2 2 U   ,  2  a   t   F  t ;
t  c c
(
(
U  , 0 )   ,
)
c c
решением которой является функция
 t


2
2

2
 (t  
 a
U c (, )    ( )cos(  )exp  2 t d  a   ( )exp  2 ) d 
a
t
0 0
t 


 a 
  f (,   ) exp   )cos( 2 2 (t   ) d d .
00
Обратное косинус-преобразование Фурье имеет вид
1      x  2    x   2  
(, ) 
ux t  ( )exp     2   exp      d 
2
2a 0     4 t      4at at    
a t 1  x 2 

()
   exp   d 
 0 t    2  4at   
1 t  

  ( , )exp   f  2 2 (t  )   a     ) cos (x    ) d d d cos (x    .

00 0
В этом выражении вычислим интеграл по переменной  в последнем
слагаемом, получим искомую функцию ( , ) – решение исходной задачи
ux
t
(2.28)–(2.31):
1    ( ) 2  ( x  x   )  2  
(, ) 
ux t  ( )exp     2    exp     d 
2
2a 0   4 t    4at at  
a t 1  x 2 
()
   exp   d 

 0 t    2  4at   
,
1 t  f  )   ( x   ) 2   ( x   ) 2  
(
  exp   2    exp     dd   .
2
2a 00 t       4      at     
 4at

26