Page 21 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

2   t 22 

2

  a    a  ( t   ) d  sin x d 
()e
 0  
0 2 2
2 t x   2 x  1 t x  2 x 
4at
 a  2  () e 4 d     () e at d  


 3  4   3/2   2at  a t  3/2
0 0
t   x 
 ( )  erfc    d ,
0 t   2at  
где erfc z 
1 erf z – дополнительная функция ошибок.
Здесь после второго равенства использовано значение несобственного
интеграла
 m   m 2
22
 xe  ax sinmx dx  3 e 4a 2 ,
0 4a
справедливость которого легко обнаружить из предыдущих рассуждений, если


( )
заметить, что левая часть этой формулы есть Sm :
 m   m 2 2 m m   m 2
22

( ) 
( ) 
 xe  ax sinmx dx  S m 2 S m 2 e 4  3 e 4a a 2 .
0 2 2a a 2 4a a
Таким образом, обратное синус-преобразование Фурье трансформанты

ux
U s (, ) (2.8) дает искомую функцию ( , ) – решение исходной задачи (2.1)–(2.4):
t
t
2  1    ( x  ) 2 
(, ) 
t
ux t  U  s ( , )sin x d    ( ) exp      2  
 0 2   2a  t t 0   4at  (2.10)
 exp   (  )x    d   ( )   erfc    x   d .
2
 4at   0 t   2at  
2.1.2. Стержень с заданной начальной температурой
и граничным условием 2-го рода

Рассмотрим неоднородную 2-ую начально-краевую задачу на полупрямой.
ux
t
Математическая постановка задачи для функции ( , )имеет вид:
2
x
u  a u xx , 0  , t  0; (2.11)
t
ux , 0 )   ( x , 0  ; (2.12)
x
)
(
u x ( 0 , t   ( t , t  0; (2.13)
)
)
(
u  , t  , u x ( , ) t  0 . (2.14)
)
0
Поскольку на левой границе x  задано граничное условие 2-го рода
0

t
(2.13), то функцию ( ) – плотность теплового потока, можно продолжить на
отрицательную полуось четным образом, после чего применить к исходной
задаче косинус-преобразование Фурье прямое и обратное соответственно




t
U c (, )  t  u ( , )cos   d ,
0
21