Page 20 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

2  22    2   22
() d

()sin

 e  a  t    d  sin xd     e  a  t sin sin xd 
   
0 0 0 0
2  1  22
  () d   e  a  t     ) cos (x    ) d cos (x  
 2
0 0
1      x 2    x 2 
2
   ()  e 4 2  e 4at at  d ,
  2 2at at 
0  
Здесь в предпоследнем равенстве использовано значение несобственного
интеграла
   m 2
22
 e  ax cosmxdx  e 4a 2 . (2.9)
0 2a
Sm
Обозначим левую часть формулы (2.9) за ( )и покажем ее справедливость

22
() 
Sm  e  ax cosmx dx.
0
Продифференцируем это равенство по параметру m и затем
проинтегрируем по частям по переменной x , получим
 m  m
22
22

() 
(),
Sm xe  ax sinmx dx  2  xe  a x cosmx dx  2  S m
2 2a a
0 0
то есть функция Sm удовлетворяет линейному однородному ОДУ 1-го
( )
порядка (оно же ОДУ с разделяющимися переменными) [9]:

() 
m
Sm m S ().
2a 2
Решение этого ОДУ есть функция
m 2
 2
() Сe
Sm  4a ,
где
  2   
22
С  S (0)   e  ax dx    e   2 d  erf (   )  ,
0 2  0 2a a 2 a
2 z 2

erf z   e  d – функция ошибок [12],
 0
e r f (  l i m e r f z  .
)
1
z
Sm
Подставим найденное значение постоянной C в выражение для ( ), получим
  m 2
() 
Sm e 4a 2 ,
2a
а значит формула (2.9) справедлива.

Для второго слагаемого в (2.8) обратное синус-преобразование Фурье
имеет вид

20