Page 17 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

Для трансформант с корнями  уравнения (1.19) классические теоремы
i
рядов Фурье–Бесселя дают следующую теорему.
x
Теорема 1.4. Если функция f ( ) удовлетворяет условиям Дирихле в
любой точке отрезка x [0, ] и ее трансформанта Ханкеля с конечными
l
пределами на этом отрезке определяется при помощи равенства

l

i 

J
F   f () ( i ) d ,


0
где  – корень трансцендентного уравнения (1.19), то в каждой точке x (0, )
l
i
непрерывности функции ( ) x , она выражается с помощью ряда
f
( F 
2  2 ( ) J x  )
() 
fx 2  i  i  i
2
l i   i 2 / l 2      ( i ) Jl   2
(
а суммирование проводится по всем положительным корням функции Jl .
)

i
Преобразование Ханкеля с конечными пределами в теоремах 1.3 и 1.4
используются в том случае, когда переменная x изменяется в пределах отрезка
x [0, ], то есть область является сплошной цилиндрической. В случае полой
l
цилиндрической области необходимо воспользоваться другим типом прямого
преобразования Ханкеля, о котором говорится в следующей теореме.
Теорема 1.5. Если функция f ( ) удовлетворяет условиям Дирихле в
x
любой точке отрезка x [, ], где b  , и ее трансформанта Ханкеля с
0
bl
конечными пределами на этом отрезке определяется при помощи равенства
l
i 
)
 ( F   (   ( J  i )  (N i )l   ( J i )l  (N  i )  ) f  d,
b
( )
где Nx – функция Бесселя 2-го рода порядка  , называемая функцией

Неймана, которая определяется равенством
cos(  ) Jx  ( )
( ) J
x
() 
Nx    ,

sin( )
а  – корень трансцендентного уравнения
i
 ( J  i ) b N   ( i ) l   ( J  i ) l N   ( i ) b  0 ,
то в каждой точке x ( , ) непрерывности функции f ( ) , она выражается с
bl
x
помощью ряда




i
() 
i
 ,
fx  2 J  2  b F i       J  i x   N l i     J l i    N x i 
2
2
i   J i l   J i b
а суммирование проводится по всем положительным корням предыдущего
уравнения.

17