Page 24 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

2.1.3. Стержень с источником теплоты, заданной начальной
температурой и граничным условием 1-го рода

Рассмотрим полностью неоднородную 1-ю начально-краевую задачу на
полупрямой c распределенным источником теплоты, задаваемым функцией
f xt
(, ) . Математическая постановка задачи для функции ( , )ux t имеет вид:
u  a u  2 f (, ), 0  , t  0; (2.24)
t
x
x
t xx
ux , 0 )   ( x , 0 ) x ;   (2.25)
(
u ( 0 , t   ( t , t  0; (2.26)
)
)
t 
)
u  , t  , u x ( , ) 0. (2.27)
0
(
Решение этой задачи идентично решению задачи (2.1)–(2.4): к решению
(2.10) необходимо добавить слагаемое, связанное с источником теплоты ( , ) .
f xt
Поскольку задано граничное условие 1-го рода (2.26), применим к
соотношениям исходной задачи синус-преобразование Фурье прямое и
обратное соответственно




U (, )  t  u ( , )sin  d ;
t
s
0
2 
(, ) t 
ux  U ( , )sin x d t   .
 s
0
Для источникового слагаемого f xt
( , ) в (2.24) одностороннее синус-
преобразование Фурье имеет вид




t
F (, )  t  f ( , )sin  d ,
s
0
а для начального условия (2.25) –вид

() 

   ( )sin d.
s
0
Применим эти преобразования подобно тому, как это сделано в р. 2.1.1,
придем к задаче Коши для линейного неоднородного ОДУ 1-го порядка [9]

относительно трансформанты Фурье U s (, ):
t
 U  ,t 
 ,t 
s  a  2 2 U   , 2   a   t   F  t ;
t  s s


U s (,0)  s ( ),
решением которой является функция
 t

 (t 

U ( ,t  exp   )  2 2 t   a  ( )sin  d   a  2    ( )exp  a  2 2  ) d  
s
0 0
t 
)sin(
 a 

  f (, )exp  2 2 (t   ) d d.
00
Используем решение (2.10) для первых двух слагаемых последнего
выражения, получим обратное синус-преобразование Фурье в виде
24