Page 23 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

Подставим это выражение вместо C в (2.19), получим частное решение
1
ОДУ (2.18), [9]:
   22 t 22


U  (, )  t    ( )cos  d  e  a  t  a  2  ( )e   a   t d .
c
 0  0
Обратное косинус-преобразование Фурье приводит к соотношению
2   22
(, ) t 
(, ) t 
(, ) t 
ux u x u x   ( )e  a  t cos  cos x d d   
2

1
00
2a 2  t  22  a   t

   ()e cos xd d   . (2.20)

00
Первое слагаемое вычислим, используя формулу (2.9):
2     22 1
ux   ( )d   e  a  t  )    ) cos (x    ) d cos (x  
(,t
1
 2
0 0
1     x 2   x  2
  ()   e 4 2  e 4at at  2 d . (2.21)
2a  t 0    
Для вычисления второго слагаемого также используем формулу (2.9):
2 2  t  22  a  t a t 1a  2 x 2 t
(, ) 

ux t   ( )e cos x d d        ( )  e 4a d 
2

00  0 t  
t   x 
 a    erfc    d.
2
0 x   2at  
(, ) с помощью тождественного оператора
Преобразуем выражение для ux t
2
  x , получим
x  

 x  x  t   x  
(, ) t 
ux x   u  2 ( , ) t d  x    a  2 ( )  x  erfc    2at    d    dx 
2

t   x  0   

 ( )    erfc   d  d . (2.22)
0 t     2at   
ux
t
Подставим (2.21), (2.22) в (2.20), получим искомую функцию ( , ) –
решение исходной задачи (2.11)–(2.14):

1     x 2   x  2 t   x    
(, ) t 
ux   ( )  e 4 2  e 4at at  2 d    ( )    erfc   d  d .(2.23)
2 t 0     0 t     2a  a t    

23