Page 27 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

2.1.5. Стержень с заданной начальной температурой и граничным
условием 3-го рода

Рассмотрим 3-ую начально-краевую задачу (при наличии на границе
теплообмена с окружающей средой) на полупрямой. Математическая
t
ux
постановка задачи для функции ( , ) имеет вид:
2
u  a u xx , 0 x , t  0; (2.32)
t
(,0)  
x
ux ( ), 0 x ; (2.33)
 λ (0, )  u x t  α μ( )t  u (0,t  ) , t  0; (2.34)
(
)
0
u  , t  , ( u x , ) t  0 , (2.35)
где  – коэффициент теплопроводности, [ ] Вт  / (м К  ) ;  – коэффициент

теплообмена, [] В т / ( м 2 К  ) , между наружной средой, имеющей

t
0
температуру ( ) , и левым концом стержня ( x  ). Теплообмен происходит по
закону Ньютона [7]
q   αμ( )t  u (0,t  ) ,
где q – величина плотности теплового потока, []q  Втм .
2
/
Исходную задачу (2.32)–(2.35) сведем к 1-й начально-краевой задаче,
которая была решена в р. 2.1.1, для чего сделаем замену

(, ) 
t 
x
vx t u (, ) u (, ). (2.36)
t
x
 x
Подставим (2.36) в исходную задачу, и учтем равенства
  2 ux t u  ( , )
x
(, )
t
(, ) 
vx t  
t
α  t 
xt
 
 u   2 u  a  3 ux ,t  2 u
 
2
   a 2 2    a 2 ;
α t    x  α x  x  3 x  2
 a  3 u  2 u
2
2  av  , x t   a 2 ,
xx
α  x 3 x  2
получим
vx t  2 xx (, ).
t
x
(, ) a v
t
Далее
1
( ,0)  
vx  ()   ()   ();
x
x
x
α
1
(0, ) t  u (0, ) t  u (0, ) t   ( ) t .
v
 x
Таким образом, задача (2.32)–(2.35) свелась к следующей 1-й начально-
краевой задаче относительно функции (, )vx t :
t
(, ) a v
x
vx t  2 xx (, ), 0 x , t  0; (2.37)
t
vx  x  (2.38)
(,0) φ( ), 0 x 
27