Page 16 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

то в каждой точке x (0, ) непрерывности функции f ( ) , она выражается с
x
l
помощью ряда

2  nx
() 
fx  F ()sin . (1.18)
n
l n 1 s l
Для косинус-трансформанты Фурье с конечными пределами имеется
следующая ее связь с трансформантой Фурье производной:

l df n  n l n l n n
( )sin
( )cos
 sin d  f     f  d  F c ( ) n ;
0 d l  l 0  l 0 l l
l df n  n  2 2
2
 2 sin d 2 F s ( ) n .
0 d l l
Из решения задач математической физики известно, что функция синус
является собственной функцией начально-краевых задач с граничными условиями,
содержащими искомую функцию, то есть граничные условия 1-го рода.

3. Преобразование Ханкеля.
 
Ядро преобразования Ханкеля J  является решением уравнения

Бесселя (1.14). Из теории функций Бесселя известно [1, 12, 13], что если
функция ( ) x удовлетворяет условиям Дирихле в интервале x (0, ), то ряд
l
f
2 J  )
(
2  a  i ,
l i i   ( i ) Jl   2


где a  i  l  f ()J (   )d , а суммирование проводится по всем положительным
0  i
)
корням функции  ( Jl , сходится к среднему арифметическому
i
односторонних пределов функции f x в точке x  , то есть к значению
( )
 ( f 0 )  ( f 0  ) / 2 .
x
Теорема 1.3. Если функция f ( ) удовлетворяет условиям Дирихле в
промежутке x (0, ) l и ее трансформанта Ханкеля с конечными пределами в

этом промежутке определяется при помощи равенства
l



F   f ()J  ( i ) d,

i
0
где  – корень трансцендентного уравнения Jl
  0 , то в каждой точке
i  i
x (0, ) l непрерывности функции ( )f x , она выражается с помощью ряда
(
2 Jx )
() 
fx 2  F  ( )  i ,
l  i  i  ( i ) Jl   2
а суммирование проводится по всем положительным корням функции J  ( i )l .
В задачах математической физики в полярных или цилиндрических
областях с граничными условиями 3-го рода, приходят к решению
трансцендентного уравнения вида

 i  ( J  i ) l    ( J  i ) l  0 . (1.19)

16