Page 15 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

1.3. Преобразования с конечными пределами

Рассмотренные выше интегральные преобразования применяются к
функциям, определенным на бесконечных или полубесконечных областях.
Используя ряды Фурье [3], можно построить интегральные преобразования
с конечными пределами – так называемые конечные интегральные
преобразования. Ядрами таких преобразований являются собственные функции
соответствующих задач Штурма–Лиувилля для однородных ОДУ с
однородными краевыми условиями на концах отрезка. В этом смысле
применение конечных интегральных преобразований к решению начально-
краевой задачи математической физики ничем не отличается от классического
метода разделения переменных Фурье.

1. Косинус-преобразование Фурье.
Из теории рядов Фурье известна следующая теорема [3].
Теорема 1.1. Если функция f ( ) в интервале x (0, ) удовлетворяет
l
x
условиям Дирихле, а ее косинус-трансформанта определяется равенством
l n

 
Fn  f ()cos d , (1.15)
c l
0
то в каждой точке x (0, ) l непрерывности функции f ( ) она выражается с
x
помощью ряда

1 2  nx
c 
  F  0 fx  F n o s . (1.16)
l c l n 1 c l
Для косинус-трансформанты Фурье с конечными пределами имеется
следующая ее связь с трансформантой Фурье производной:

l df n  n l n l n
 cos d  f     f  d 
( )cos
( )sin
0 d l  l 0  l 0 l
 n
 n ( )  f (0)  F ( );
l
n
(1) f
l s
l df n n  2
2
2
( 1) f l 
 2 cos d  n ( ) f  (0)  2 F c ( ) n .
0 d l l
Из решения задач математической физики известно, что функция косинус
является собственной функцией начально-краевых задач с граничными
условиями, содержащими производные искомой функции, то есть граничные
условия 2-го рода либо комбинированные граничные условия.

2. Синус-преобразование Фурье.
l
Теорема 1.2. Если функция f ( ) в интервале x (0, ) удовлетворяет
x
условиям Дирихле, а ее синус-трансформанта определяется равенством
l n

 
Fn  f ()sin d , (1.17)
s l
0
15