Page 14 - Б.А. Гарибян «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛО- И ВОЛНОВОГО ПЕРЕНОСА МЕТОДАМИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

или то же самое
1 d  df   2
() 
(),
 x   fx  fx (1.14)
xdx  dx  x 2
то преобразование Ханкеля целесообразно применить к левой части этого
уравнения Бесселя по переменной x :

  1 d  df   2   d  df    2
      2    ( f J  ) d     ( J  ) d   ( f  )  ( J  ) d 
d
0   d   0  d  d  0  
( dJ )    d  ( dJ )   2 
  f ()    f ()        d  J ( ) d 

d  d  d    
0 0
  1 dJ  )   2 
( d
   f ()        2 J  (  ) d  .
d
0    d   
Здесь после первого равенства первый интеграл дважды проинтегрирован
по частям в предположении, что   0f   и df  0 dx  . Выражение в
  /
квадратных скобках под знаками интегралов удовлетворяет левой части
уравнения (1.14), которое в этом случае можно переписать так

( d
1 dJ  )    2 
      1 2  (  )  0J  .
  d     
d
Отсюда находим

   df 1 df   2  
2
 f ()  2     2  J    (  ) d    2  f  () ( J   ) d    2 F   ( )  .
0  d x d    0 
В частности, при  0 или   1, правая часть последнего равеснтва равна

соответственно  2 F () или  2 F () .

0 1
5. Преобразование Лапласа.
Соответствие производных различных порядков от функции f t и ее
( )
( )
трансформанты Лапласа Fp основано на теореме дифференцирования
оригиналов (см. Прил. 1, св. 6), [8, 9]:

)
f t  ( )  pF p  f ( 0 ) ,
(

() 
2
ft p F ( )  p pf (0)  f  (0) ,
…………………………………….
n
n
f () ()  t p F ( )  p p n  1 f (0)  p n  2 f  (0) ...  f (n  1) (0).
Из этих соответствий видно, что при переходе в область изображений
начальные условия для искомой функции учитываются автоматически.

14